Os paradoxos de Zenão

Pensa-se que Zenão tenha nascido cerca de 490-485 a. C., e desafiou os conceitos de movimento e de tempo através de quatro paradoxos que criaram uma certa agitação, ainda hoje visível.
As teorias do movimento estão intimamente relacionadas com as teorias sobre a natureza do espaço e do tempo. Na Antiguidade, foram defendidas duas perspectivas opostas: a hipótese do Uno, defendida por Parménides (n. 515-510 a.C.), e a dos seus adversários, que defendiam o pluralismo.
Zenão era discípulo de Parménides e tentou fazer com que os seus adversários caíssem em contradição. De facto, Zenão mostrou que examinando a questão a fundo se obtêm consequências mais absurdas partindo da hipótese da pluralidade do que da hipótese do Uno.
As hipóteses contra as quais Zenão dirigiu o seu talento destrutivo foram principalmente a da pluralidade e a do movimento, que eram indiscutivelmente aceites por todos, salvo pelos próprios Eleatas.

A questão central dos paradoxos de Zenão reside na impossibilidade de considerar segmentos de espaço e de tempo como sendo formados por uma infinidade de elementos individuais e, não obstante, separados uns dos outros, isto é, descontínuos.
Zenão sabia, evidentemente, que Aquiles podia apanhar a tartaruga, que um corredor pode percorrer o estádio, e que uma seta em voo se move. Pretendia simplesmente demonstrar as consequências paradoxais de encarar o tempo e o espaço como constituídos por uma sucessão infinita de pontos e instantes individuais consecutivos como as contas de um colar.

A solução destes paradoxos exige uma teoria como a Cantoriana, que combina a nossa noção intuitiva de pontos e acontecimentos individuais com uma teoria sistemática de conjuntos infinitos.
É o que Russel reconhece no seu livro Our Knowledge of the External World, ao defender que os paradoxos de Zenão apenas obtiveram uma resposta efectiva quando Georg Cantor desenvolveu a teoria dos conjuntos infinitos, visto que ela permite tratar conjuntos infinitos de pontos no espaço, assim como acontecimentos no tempo, como todos completos, e não simplesmente como colecções de pontos ou sucessões de instantes individuais.

O paradoxo do Estádio

É impossível atravessar o estádio; porque, antes de se atingir a meta, deve primeiro alcançar-se o ponto intermédio da distância a percorrer; antes de atingir esse ponto, deve atingir-se o ponto que está a meio caminho desse ponto; e assim ad infinitum.

Por outras palavras, se admitirmos que o espaço é infinitamente divisível e que, portanto, qualquer distância finita contém um número infinito de pontos, chegamos à conclusão de que é impossível alcançar o fim de uma série infinita num tempo finito.

Todos sabemos que é possível atravessar um estádio, ou percorrer qualquer distância finita num determinado período de tempo.
O argumento de Zenão está corretamente formulado, mas com base num pressuposto errado: o de que é impossível transpor parcelas infinitas de espaço num tempo infinito. De facto, uma coisa não pode, num tempo finito, entrar em contacto com coisas quantitativamente infinitas. No entanto, pode entrar em contacto com coisas infinitas no que diz respeito à divisibilidade porque, neste sentido, o próprio tempo é também infinito: o contacto com os infinitos é feito por meio de momentos infinitos em número.

Paradoxo Aquiles e a Tartaruga

Aquiles nunca pode alcançar a tartaruga; porque na altura em que atinge o ponto donde a tartaruga partiu, ela ter-se-á deslocado para outro ponto; na altura em que alcança esse segundo ponto, ela ter-se-á deslocado de novo; e assim sucessivamente, ad infinitum.

Deste modo, numa corrida, o perseguidor nunca poderia atingir o perseguido, mesmo que fosse mais rápido que este. A teoria do espaço que está aqui implícita é a que o supõe infinitamente divisível.
Este paradoxo, em conjunto com o do estádio, visa a desacreditação do movimento "contínuo".

A demonstração de Cantor de que a totalidade de um conjunto infinito (tal como o número de pontos do percurso) não tem de ser maior do que as suas partes (tal como os segmentos do percurso) clarifica este aspecto do paradoxo de Aquiles e a Tartaruga: Aquiles não tem de percorrer mais pontos do que a Tartaruga. Ele tem de percorrer exactamente os mesmos: um número infinito de pontos.

A questão acerca da forma como os corredores podem percorrer um número infinito de pontos numa porção finita de tempo (ou tempo dividido num número infinito de instantes) é resolvida em parte pela teoria dos irracionais de Cantor, que mostra que a soma de uma série infinita de números racionais pode ser um número finito, e em parte pela teoria da unificação do espaço-tempo de Einstein.

Paradoxo da Seta Voadora

Um objeto está em repouso quando ocupa um lugar igual às suas próprias dimensões. Uma seta em voo ocupa, em qualquer momento dado, um espaço igual às suas próprias dimensões. Por conseguinte, uma seta em voo está em repouso.

O objetivo deste argumento é provar que a seta voadora está em repouso, resultado de se admitir a hipótese de que o tempo é composto de momentos; se não admitirmos esta hipótese, a conclusão não tem viabilidade.

É fácil de ver que este argumento, ao contrário dos dois que o precederam, trata igualmente o espaço e o tempo como algo composto de mínimos indivisíveis.

O paradoxo das fileiras em movimento

O quarto argumento é o que diz respeito a duas filas de corpos, sendo cada fileira constituída por igual número de corpos do mesmo tamanho, passando uma pela outra numa pista de corridas, à medida que avançam, com igual velocidade, em direcções opostas; uma das fileiras ocupa inicialmente o espaço entre a meta e o ponto médio da pista e a outra o espaço entre o ponto médio e a posição de partida.

Legenda:
A = corpos estacionários
B = corpos que se movem de Δ para E
Γ = corpos que se movem de E para Δ
Δ = ponto de partida
E = meta
Quando a fileira dos B's e dos Γ's passam uma pela outra, o primeiro B alcança o último Γ no mesmo momento em que o primeiro Γ alcança o último B. Neste momento, o primeiro Γ passou todos os B's, enquanto que o primeiro B passou apenas metade dos A's e, por consequência, gastou apenas metade do tempo dispendido pelo primeiro Γ, uma vez que cada um dos dois leva mesmo tempo a passar por cada corpo.
De acordo com o exposto, Zenão afirma que isto:

(...) implica a conclusão que metade de um dado tempo é igual ao dobro desse tempo

O único erro do raciocínio está, uma vez mais, em considerar um pressuposto de base errado: a hipótese de que um corpo leva o mesmo tempo a passar, com igual velocidade, por um corpo que está em movimento e por um corpo do mesmo tamanho que está em repouso.